Maxima Minima và Extremmas Chức năng

Tối thiểu tham khảo điểm trên chức năng trong đó giá trị của hàm ít hơn hơn trong các điểm liền kề.

Tối đa. tham khảo điểm trên chức năng trong đó giá trị của hàm hơn hơn trong các điểm liền kề.

Cũng có thể nói rằng hướng chuyển động của chức năng thay đổi tại các điểm này: Nếu hàm dừng rơi và bắt đầu phát triển - đây là điểm tối thiểu, ngược lại - tối đa.

Nhiệm vụ 3.

Minima và cao được gọi cùng nhau Chức năng cực đoan .

Nói cách khác, tất cả năm điểm được phân bổ trên biểu đồ trên là cực đoan.

Tại các điểm cực đoan (I.E. Maxima và Minima và Minima)

bằng không.

Nhờ điều này, việc tìm kiếm những điểm này không phải là vấn đề, ngay cả khi bạn không có lịch trình chức năng. Chú ý! Khi viết Cực đoan hoặc Maxima / Tối thiểu có nghĩa là giá trị của hàm I.E. \ (Y \). Khi viết Điểm cực đoan

hoặc các điểm của Maxima / Tối thiểu có nghĩa là Xers trong đó Maxima / Minima đạt được. Ví dụ: trong hình trên, \ (- 5 \) điểm tối thiểu (hoặc điểm cực đoan) và \ (1 \) là tối thiểu (hoặc cực).

Làm cách nào để tìm các điểm của các chức năng cực đoan trên lịch trình phái sinh (7 bài tập sử dụng)?

Chứng minh chức năng đó

Chúng ta hãy cùng nhau tìm cùng số điểm cực đoan theo biểu đồ phái sinh trên ví dụ: Chúng tôi có một lịch trình phát sinh

Nhờ điều này, việc tìm kiếm những điểm này không phải là vấn đề, ngay cả khi bạn không có lịch trình chức năng. - Điều đó có nghĩa là chúng ta đang tìm kiếm tại những điểm trên đồ thị của đạo hàm là không. Rõ ràng, đây là những điểm \ (- 13 \), \ (- 11 \), \ (- 9 \), \ (- 7 \) và \ (3 \). Số lượng điểm của hàm cực đoan - \ (5 \). Nếu một lịch trình được đưa ra phát sinh chức năng, và bạn cần tìm Chức năng cực đoan điểm

Nhiệm vụ 3.         \ (f (x) = x ^ 5 + 2x ^ 3-4 \)

, Chúng tôi không xem xét đạo hàm Maxima và Minima! Chúng tôi xem xét các điểm trong đó hàm có nguồn gốc được rút ra bằng 0 (nghĩa là trục được vượt qua \ (x \)).

Làm cách nào để tìm các điểm của các hàm Maxima hoặc Minima trên lịch trình phái sinh (7 bài tập sử dụng)?

Để trả lời câu hỏi này, bạn cần nhớ thêm hai quy tắc quan trọng hơn:

- Đạo hàm dương là tích cực nơi chức năng tăng lên.

Chứng minh chức năng đó

- Đạo hàm là âm nơi chức năng giảm.

Sử dụng các quy tắc này, hãy tìm theo lịch trình của khoảng cách của hàm tối thiểu và tối đa.

tăng trên tất cả các số thẳng.

Rõ ràng là Minima và Maxima nên được tìm kiếm giữa các điểm cực đoan, tức là. Trong số \ (- 13 \), \ (- 11 \), \ (- 9 \), \ (- 7 \) và \ (3 \).

Để dễ dàng giải quyết nhiệm vụ, chúng tôi đặt các dấu cộng và trừ dấu cho thấy dấu hiệu của đạo hàm trong hình. Sau đó, mũi tên - biểu thị tăng, giảm chức năng.

Hãy bắt đầu với \ (- 13 \): đến \ (- 13 \) đạo hàm là tích cực, tức là. Chức năng phát triển, sau - đạo hàm là âm. Chức năng giảm. Nếu nó là để tưởng tượng, nó sẽ rõ ràng rằng \ (- 13 \) là điểm tối đa.

\ (- 11 \): Đạo hàm là dương tính đầu tiên, và sau đó âm, nó có nghĩa là hàm tăng, và sau đó giảm. Một lần nữa, hãy thử vẽ tinh thần và nó sẽ trở nên rõ ràng rằng \ (- 11 \) là tối thiểu.

\ (- 9 \): Chức năng tăng, sau đó giảm - tối đa.

\ (- 7 \): Tối thiểu.

\ (3 \): Tối đa.

Tất cả những điều trên có thể được khái quát bằng các kết luận sau:

- Chức năng này có tối đa nơi dẫn xuất bằng 0 và thay đổi dấu hiệu từ điểm cộng sang âm.

  1. - Chức năng này có mức tối thiểu trong đó phái sinh bằng 0 và thay đổi dấu hiệu từ điểm trừ.
  2. Làm cách nào để tìm các điểm của Maxima và Minima nếu một công thức chức năng được biết (12 bài tập sử dụng)?
  3. Để trả lời câu hỏi này, bạn cần phải làm mọi thứ giống như trong đoạn trước: để tìm nơi dẫn xuất tích cực, trong đó âm và ở đâu bằng không. Để làm cho nó rõ ràng hơn để viết một thuật toán với một ví dụ về một giải pháp:
  4. Tìm hàm phái sinh \ (f '(x) \).
  5. Tìm rễ của phương trình \ (f '(x) = 0 \).
  6. Vẽ trục \ (x \) và đánh dấu các điểm thu được trong đoạn 2 trên đó, mô tả cánh tay của các khoảng trống mà trục bị hỏng. Đăng nhập qua \ (f '(x) \ \) và dưới \ (f (x) \).

\ (D (y): x \ in \ mathbb {r} \)

Xác định dấu hiệu của đạo hàm trong mỗi khoảng (phương thức khoảng thời gian).

Đặt dấu hiệu của đạo hàm trong mỗi khoảng (phía trên trục) và mũi tên chỉ ra hàm tăng (↗) hoặc giảm (↘) (dưới trục).

Nó có nghĩa là không có điểm quan trọng.

Xác định cách các dấu hiệu của dẫn xuất đã thay đổi khi chuyển qua các điểm thu được trong đoạn 2: - Nếu \ (f '(x) \ \) đã thay đổi dấu từ "\ (+ \)" thành "\ (- \)", thì \ (x_1 \) là điểm tối đa; - Nếu \ (f '(x) \) đã thay đổi dấu từ "\ (\)" thành "\ (+ \)", thì \ (x_3 \) là điểm tối thiểu; - Nếu \ (f '(x) \) không thay đổi dấu hiệu, thì \ (x_2 \) - có thể là điểm của sự thay đổi. Mọi điều! Các điểm của Maxima và Lows đã được tìm thấy.

Hình ảnh trên các điểm trục trong đó phái sinh bằng 0 - không thể tính đến thang đo. Hành vi của hàm có thể được hiển thị như thế này được thực hiện trong hình dưới đây. Vì vậy, nó sẽ rõ ràng ở đâu tối đa, và ở đâu là tối thiểu.

Thí dụ

\ (f '(x) = 5x ^ 4 + 6x \)

(SỬ DỤNG)

. Tìm hàm tối đa \ (y = 3x ^ 5-20x ^ 3-54 \). .Phán quyết:

1. Tìm một hàm phái sinh: \ (y '= 15x ^ 4-60x ^ 2 \). 2. Đảm bảo về 0 và giải phương trình: \ (15x ^ 4-60x ^ 2 = 0 \) \ (|: 15 \)

\ (x ^ 4-4x ^ 2 = 0 \)

3) Xê dạng f '(x) đến 0 và tìm root: x = 0. Chúng tôi chú ý 0 trên số trực tiếp và xác định dấu hiệu của đạo hàm trong các khoảng thời gian\ (x ^ 2 (x ^ 2-4) = 0 \) \ (x = 0 \) \ (x ^ 2-4 = 0 \) \ (x = ± 2 \)

3. - 6. Áp dụng các điểm vào trục số và chúng tôi xác định cách ký hiệu của các thay đổi đạo hàm và cách chức năng đang di chuyển:

Bây giờ rõ ràng là điểm tối đa là \ (- 2 \). Câu trả lời \ (- 2 \).

Xem thêm: Chức năng giao tiếp và đạo hàm của nó | 7 nhiệm vụ của ege Hợp tác các nhiệm vụ để tìm kiếm các thái cực, thấp và cực đại

Tải về một bài viết

  • Tìm kiếm điểm tối đa và chức năng tối thiểu - một nhiệm vụ khá phổ biến trong
  • Phân tích toán học
  • . Đôi khi một extrim được yêu cầu. Nhiều người nghĩ rằng dưới từ "extrim" ngụ ý giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm. Điều này không hoàn toàn đúng. Giá trị có thể là lớn nhất hoặc tối thiểu, nhưng không phải là cực đoan.

Toàn cầu và tối đa cục bộ

Tối đa xảy ra

  1. \ ((0; + \ encty) \)Địa phương hoặc toàn cầu
  2. . Điểm tối đa cục bộ là một đối số rằng, khi thay thế trong f (x), có giá trị ít nhất so với các điểm khác từ khu vực gần đối số này. Đối với mức tối đa toàn cầu, khu vực này mở rộng đến toàn bộ khu vực đối số cho phép. Tối thiểu, ngược lại là ngược lại. Extremum là một mức độ cực đoan địa phương - giá trị tối thiểu hoặc tối đa.
  3. Theo quy định, nếu các nhà toán học quan tâm đến giá trị lớn nhất của F (X), thì trong khoảng thời gian, không phải trên toàn bộ trục đối số. Nhiệm vụ tương tự thường
  4. Xây dựng bởi cụm từ.
  5. "Tìm điểm chức năng tối đa trên phân khúc." Ở đây, nó được hiểu rằng cần phải xác định một đối số tại đó nó không ít hơn so với phần còn lại của phân đoạn đã chỉ định. Việc tìm kiếm cực đoan cục bộ là một trong những bước để giải quyết một nhiệm vụ như vậy.

Danched y = f (x). Nó là cần thiết để xác định chức năng cực đại trên phân đoạn đã chỉ định. F (x) có thể đạt đến điểm tại điểm:

Extrim, nếu nó rơi vào phân khúc quy định,

lỗ hổng

Giới hạn phân khúc quy định.

Học

. Chúng tôi có được rằng phái sinh tích cực ở cả hai khoảng thời gian, do đó chức năng tăng lên toàn bộ dòng chữ số.Đỉnh f (x) trên phân đoạn hoặc trong khoảng thời gian là nghiên cứu về chức năng này. Kế hoạch nghiên cứu để tìm tối đa trên một phân khúc (hoặc khoảng thời gian): Tìm diện tích lập luận và giao điểm cho phép của khu vực này với một khu vực nghiên cứu. Xem xét tiệm cận. Chúng bằng với giới hạn khi đối số đang phấn đấu đến các điểm GAP. Xác định đạo hàm đầu tiên và tính điểm cực đoan và tìm ra hành vi của hàm trong vùng lân cận của những điểm này.

Tính giá trị f (x) tại các điểm giới hạn khu vực của nghiên cứu.

So sánh cực đoan với giá trị của hàm tại các điểm ngắt và ở đầu của khoảng thời gian. Xác định trong số họ là lớn nhất.

Minima cục bộ và mức cao được đánh dấu trên biểu đồ chức năngBây giờ chúng tôi sẽ phân tích chi tiết từng bước và xem xét một số ví dụ. Diện tích lập luận cho phép Diện tích lập luận có thể cho phép là X, với sự thay thế trong F (X) nó không vượt quá tồn tại. Giá của các đối số được phép cũng được gọi là khu vực định nghĩa. Ví dụ: y = x ^ 2 được xác định trong toàn trục của các đối số. Và y = 1 / x được xác định cho tất cả các đối số, ngoại trừ x = 0.

Tìm giao điểm của các đối số cho phép và phân đoạn được nghiên cứu (khoảng) được yêu cầu để loại trừ việc xem xét một phần của khoảng thời gian, nơi chức năng không được xác định. Ví dụ, cần phải tìm một y = 1 / x tối thiểu trên một phân đoạn từ -2 đến 2. Trên thực tế, cần phải điều tra hai khoảng thời gian bán từ -2 đến 0 và từ 0 đến 2, kể từ phương trình y = 1/0 không có giải pháp.

Tiệm cận

Asymanpta là một đường thẳng như vậy để chức năng kéo dài, nhưng không đạt được. Nếu f (x) tồn tại trên toàn bộ số trực tiếp và không thể tách rời trên đó, thì nó không phải là tiệm cận dọc. Nếu nó bị phá vỡ, điểm Gap là Asymptota dọc. Đối với y = 1 / x Asymptotta được đặt bởi phương trình x = 0. Điều này

chức năng

kéo dài đến không

Theo trục của các cuộc tranh luận, nhưng cô sẽ mang nó cho anh ta, chỉ lao vào vô cùng.

Nếu có một tiệm cận thẳng đứng trên phân khúc được nghiên cứu, gần đó chức năng có xu hướng vô cùng với một điểm cộng, thì đỉnh f (x) không được xác định ở đây. Và nếu nó được xác định, đối số ở mức tối đa đạt được, sẽ trùng với điểm giao nhau của tiệm cận và trục của các đối số. Phái sinh và cực đoan. Phái sinh là.

Chức năng thay đổi giới hạn.

Với sự phấn đấu cho việc thay đổi đối số. Nó có nghĩa là gì? Lấy một trang web nhỏ từ khu vực của các đối số cho phép và xem cách F (x) thay đổi ở đây, và sau đó chúng tôi giảm phần này thành kích thước nhỏ vô hạn, trong trường hợp F (X) sẽ thay đổi theo cách tương tự như một chức năng đơn giản hơn , được gọi là phái sinh.

Giá trị của đạo hàm trong một trình bày nhất định tại góc nào truyền tiếp tuyến vào hàm trong điểm đã chọn. Một ý nghĩa tiêu cực cho thấy chức năng giảm ở đây. Tương tự, một dẫn xuất dương cho thấy sự gia tăng f (x). Từ đây có hai điều kiện.

1) Đạo hàm ở điểm cực trị là không hoặc không xác định. Điều kiện này là cần thiết, nhưng không đủ. Sự khác biệt y = x ^ 3, chúng tôi có được đạo hàm phái sinh: Y = 3 * x ^ 2. Thay thế đối số "0" đến phương trình cuối cùng và đạo hàm sẽ chuyển sang 0. Tuy nhiên, đây không phải là cực đoan cho y = x ^ 3. Cô ấy không thể có cực đoan, nó sẽ giảm lên toàn bộ trục đối số.

2) Nó là đủ để thay đổi phái sinh khi phái sinh đang thay đổi khi phái sinh. Đó là, đến mức f (x) tối đa phát triển và sau khi nó tối đa giảm - dẫn xuất là dương và trở nên âm tính.

Sau khi tìm thấy các đối số cho tối đa cục bộ được tìm thấy, chúng phải được thay thế vào phương trình ban đầu và có được giá trị tối đa F (X).

Kết thúc khoảng thời gian và so sánh kết quả

2) Nó là đủ để thay đổi phái sinh khi phái sinh đang thay đổi khi phái sinh. Đó là, đến mức f (x) tối đa phát triển và sau khi nó tối đa giảm - dẫn xuất là dương và trở nên âm tính.

Khi tìm kiếm tối đa trên phân khúc, cần phải kiểm tra giá trị ở đầu phân khúc. Ví dụ: đối với y = 1 / x trên phân đoạn [1; 7] Tối đa sẽ ở điểm X = 1. Ngay cả khi có tối đa cục bộ bên trong phân đoạn, không có gì đảm bảo rằng giá trị ở một trong các đầu của phân khúc sẽ không lớn hơn mức tối đa này. Lịch biểu đạo sai và điểm đánh dấu của hàm Minima và Maxima

Bây giờ bạn cần so sánh

Theo đồ thị của đạo hàm để xác định chức năng Minima và Maxima

Giá trị tại điểm phá vỡ

Tìm tối thiểu và tối đa

(Nếu f (x) không có xu hướng vô cùng ở đây, ở cuối khoảng thời gian được nghiên cứu và chức năng cực đoan. Tuyệt vời nhất của các giá trị này sẽ là hàm tối đa trên khu vực được chỉ định của đường thẳng.

Đối với một nhiệm vụ với từ ngữ "Tìm một điểm của hàm tối thiểu", bạn cần chọn mức thấp và giá trị cục bộ nhỏ nhất ở đầu của khoảng thời gian và tại các điểm ngắt. Hình ảnh hình ảnh sơ sàiVideo Tìm kiếm mức thấp và cực đạiNhiệm vụ 12 của phần đầu tiên của bài kiểm tra hồ sơ trong toán học là tìm các điểm tối đa và chức năng tối thiểu, cũng như các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm bằng cách sử dụng một dẫn xuất. Tính năng tối đa và MinimaĐây là những loại nhiệm vụ có thể đáp ứng trong nhiệm vụ này: Làm thế nào để tìm điểm của hàm tối đa?

Tìm điểm tối đa và tối thiểu các chức năng

Nghiên cứu các chức năng phức tạp Làm thế nào để tìm Maxima và Lows theo lịch trình

Bây giờ bạn cần so sánh

Đồ họa tiệm cận

Tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các chức năng trên phân khúc

Maxim và chức năng chi phí tối thiểu

1. Tìm một điểm chức năng tối đa

Đối với một nhiệm vụ với từ ngữ "Tìm một điểm của hàm tối thiểu", bạn cần chọn mức thấp và giá trị cục bộ nhỏ nhất ở đầu của khoảng thời gian và tại các điểm ngắt. Chức năng dẫn xuất.Video Tìm kiếm mức thấp và cực đạiTìm một chức năng phái sinh. y = - {{x ^ 2 + 289} \ qua {x}}.Chúng tôi đánh đồng đạo hàm về 0. Chúng tôi nhận được: Làm thế nào để tìm điểm của hàm tối đa?

Khám phá các dấu hiệu của phái sinh.

Sau khi tìm thấy các đối số cho tối đa cục bộ được tìm thấy, chúng phải được thay thế vào phương trình ban đầu và có được giá trị tối đa F (X).

Ở điểm y ^ {

phát sinh y ^ {Thay đổi dấu hiệu từ "cộng" thành "trừ". Nó có nghĩa là

- Chức năng tối đa điểm x ^ 2 = 289 \ leFtrightarrow \ Left [\ bearch {mảng} {c} \ x = 17, \ hflfl \\ x = -17. \ End {mảng} \ phải.Trả lời: 17. x = 17.2. Tìm một điểm tối thiểu của chức năng Y.Chúng tôi đánh đồng đạo hàm về 0. x = 17.Chúng tôi xác định các dấu hiệu của phái sinh.

y (x).

y (x).Thay đổi dấu hiệu từ "trừ" thành "cộng". Nó có nghĩa là Y = 2x ^ 2-5x + lnx-3.- Chức năng tối thiểu điểm y {Video 4x-5 + {{1} \ qua {x}} = 0 \ leftrightarrow 4x ^ 2-5x + 1 = 0 \ leFtrightarrow \ Left [\ begin {mảng} {c} \ x = 1, \\ x = { {1} \ trên {4}}. \ End {mảng} \ phải.Nhiệm vụ 12 của phần đầu tiên của bài kiểm tra hồ sơ trong toán học là tìm các điểm tối đa và chức năng tối thiểu, cũng như các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm bằng cách sử dụng một dẫn xuất. x = 1.Đây là những loại nhiệm vụ có thể đáp ứng trong nhiệm vụ này: x = 1..

Trả lời 1. y = 2 ^ {5-8x-x ^ 2}.3. Tìm điểm chức năng tối đa

Trước chúng tôi một chức năng phức tạp y = 2 ^ tBạn có thể biết công thức của hàm phức hợp phái sinh. Nhưng trên thực tế, họ được nghiên cứu trong năm đầu tiên của trường đại học, vì vậy chúng tôi sẽ giải quyết vấn đề một cách đơn giản. y = 2 ^ tKể từ chức năng y = 2 ^ {5-8x-x ^ 2}

Tăng một cách đơn điệu, điểm của hàm tối đa

. Hãy chắc chắn với cùng x_0.

điểm tính năng tối đa T \ trái (x \ phải) = 5-8x-x ^ 2.

Và thật dễ dàng để tìm thấy nó.

- Chức năng tối đa điểm t ^ {Trả lời: 17. x = -4.cho x = -4.

. Ở điểm {{t}} ^ {{

Kết thúc khoảng thời gian và so sánh kết quả

Lưu ý rằng điểm tối đa của hàm x = - 4Có thể được tìm thấy mà không có đạo hàm. {t} \ bên trái ({x} \ phải)

Biểu đồ đồ thị

là cành parabola xuống và giá trị lớn nhất x = - 4đạt được ở đầu parabola, nghĩa là, khi

Tìm kiếm mức thấp và cực đại

Tìm kiếm mức thấp và cực đại

T \ left (x \ right) = 5-8x-x ^ 2

T \ trái (x \ phải)

Trả lời: - 4.

Đối với một nhiệm vụ với từ ngữ "Tìm một điểm của hàm tối thiểu", bạn cần chọn mức thấp và giá trị cục bộ nhỏ nhất ở đầu của khoảng thời gian và tại các điểm ngắt. X = - \ frac {8} {2} = - 4.4. Tìm điểm tối đa tối đa abscissa y = \ sqrt {4-4x-x ^ 2}.Nhớ lại rằng abscissa là tọa độ X.Một lần nữa một chức năng phức tạp. Áp dụng kỹ thuật tương tự như trong nhiệm vụ trước. y = \ sqrt {4-4x-x ^ 2}.là điểm của hàm tối đa y = \ sqrt {z}Đây là đỉnh của một parabola bậc hai

5. Tìm giá trị lớn nhất của chức năng.

TRÊN CẮT. y = \ sqrt {4-4x-x ^ 2}Có thể được tìm thấy mà không có đạo hàm. T \ trái (x \ right) = 4-4x-x ^ 2.

Chúng tôi nhớ rằng giá trị lớn nhất của chức năng trên phân khúc có thể đạt được ở điểm tối đa hoặc ở cuối phân đoạn. Những trường hợp này được hiển thị trong hình. y = \ sqrt {4-4x-x ^ 2}Chúng tôi sẽ tìm kiếm một điểm chức năng tối đa

Tìm kiếm mức thấp và cực đạiThay đổi dấu hiệu từ "trừ" thành "cộng". Nó có nghĩa là t \ trái (x \ right) = 4-4x-x ^ 2; x_0 = \ frac {-4} {2} = - 2.

Trả lời: - 4.

Sử dụng một dẫn xuất. Chúng tôi tìm thấy một dẫn xuất và đánh đồng nó bằng không. y = x ^ 3 + 2x ^ 2-4x + 4Chúng tôi đánh đồng đạo hàm về 0. Chúng tôi nhận được: [-2; 0].Chúng tôi tìm thấy các dấu hiệu của đạo hàm. {3x} ^ 2 + 4x-4 = 0;Đạo hàm bằng 0 và thay đổi dấu hiệu từ "+" thành "-". Vì vậy, X = - 2 - Điểm tối đa của hàm D = 64; x = \ frac {-4 \ pm 8} {6}; x_1 = \ frac {2} {3}, x_2 = -2.. Kể từ khi

 и chức năng x = - 2giảm bớt y (x)Trong nhiệm vụ này, giá trị của hàm ở cuối phân khúc là không cần thiết.

X \ in [-2; 0]

Trả lời: 12.

6. Tìm giá trị hàm nhỏ nhất y_ {max} \ left (x \ right) = y \ left (-2 \ right) = 12.Có thể được tìm thấy mà không có đạo hàm. y = {4x} ^ 2-10x + 2lnx-5

Tìm một chức năng phái sinh

[0,3; 3].

và đánh đồng nó bằng không. Tìm kiếm mức thấp và cực đạiThay đổi dấu hiệu từ "trừ" thành "cộng". Nó có nghĩa là X_1 = 1, x_2 = \ frac {1} {4}.

Điểm . Điểm không nằm trên phân khúc vì thế

Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm trên phân khúc x_1 = 1.Chúng tôi đánh đồng đạo hàm về 0. Chúng tôi nhận được: y = \ sqrt {4-4x-x ^ 2}.đạt được tại y = {4x} ^ 2-10x + 2lnx-5

Y \ trái (x \ phải)

Chúng tôi tìm thấy giá trị này.

Trả lời: -11. X_2 = \ frac {1} {4}Có thể được tìm thấy mà không có đạo hàm. [0,3; 1].

Chúng tôi nhớ rằng giá trị lớn nhất của chức năng trên phân khúc có thể đạt được ở điểm tối đa hoặc ở cuối phân đoạn. Những trường hợp này được hiển thị trong hình. \ bên trái [0,3; 1 \ phải] Tìm kiếm mức thấp và cực đại

7. Tìm giá trị hàm nhỏ nhất x = 1.

y_ {min} \ left (x \ right) = y \ left (1 \ phải) = 4-10-5 = -11

y = 9x - {\ ln \ trái (9x \ phải)} + 3Đôi khi trước khi lấy một dẫn xuất, công thức của hàm rất hữu ích để đơn giản hóa. \ bên trái [\ frac {1} {18}; \ frac {5} {18} \ phải].Chúng tôi đã áp dụng công thức cho logarit của công việc. Y = 9x - {\ ln \ Left (9x \ right)} + 3 = 9x - {\ ln 9 - {\ ln x}} + 3.

Nếu một [0,3; 1].

cái đó X = \ frac {1} {9}.Nếu một X = \ frac {1} {9}.Đây là những loại nhiệm vụ có thể đáp ứng trong nhiệm vụ này: Làm thế nào để tìm điểm của hàm tối đa?

T. X = \ frac {1} {9} и Y_ {Min} \ Left (x \ right) = y \ left (\ frac {1} {2} \ phải) = 1 + 3 = 4

y (x) = 14x-7tgx-3,5 \ pi +11

Nó có nghĩa là \ Left [- \ frac {\ pi} {3}; \ frac {\ pi} {3} \ phải].

. Tại thời điểm này, giá trị nhỏ nhất của hàm trên phân khúc đạt được y (x) = 14x-7tgx-3,5 \ pi +11.Trả lời: 4.

Chúng tôi tìm thấy giá trị này.

8. Tìm giá trị lớn nhất của chức năng. 14- \ frac {7} {{cos} ^ 2x} = 0Chúng tôi đánh đồng đạo hàm về 0:

. Trong chừng mực

{cos} ^ 2x = \ frac {1} {2}

{cos} ^ 2x = \ pm \ frac {1} {\ sqrt {2}} = \ pm \ frac {\ sqrt {2}} {2}

X \ in \ left [- \ frac {\ pi} {3}; \ frac {\ pi} {3} \ right], y

Chúng tôi nhớ rằng giá trị lớn nhất của chức năng trên phân khúc có thể đạt được ở điểm tối đa hoặc ở cuối phân đoạn. Những trường hợp này được hiển thị trong hình. x = \ pm \ frac {\ pi} {4}.

Tìm kiếm mức thấp và cực đại

Tìm kiếm mức thấp và cực đạiChúng tôi đã áp dụng công thức cho logarit của công việc. X = \ frac {\ pi} {4}nếu một X = - \ frac {\ pi} {3}

Chúng tôi tìm thấy các dấu hiệu của đạo hàm trên phân khúc X = \ frac {\ pi} {4}.Cho X = \ frac {\ pi} {4}.Chúng tôi đánh đồng đạo hàm về 0. Chúng tôi nhận được: Làm thế nào để tìm điểm của hàm tối đa? Y \ left (\ frac {\ pi} {4} \ phải) = - 7 + 11 = 4

Dấu hiệu của các thay đổi phái sinh với "cộng" với "trừ". Nó có nghĩa là Y_ {MAX} \ Left (x \ right) = Y \ \ free (\ frac {\ pi} {4} \ right) = - 7 + 11 = 4.Có thể được tìm thấy mà không có đạo hàm. - \ frac {\ pi} {3}

Chúng tôi tìm thấy một điểm tối đa, nhưng đó không phải là tất cả. So sánh các giá trị của hàm ở điểm tối đa và ở cuối phân đoạn, đó là khi

Tìm kiếm mức thấp và cực đại

Tìm kiếm mức thấp và cực đại Y = e ^ {2x} - {8e} ^ x + 9

{{(e} ^ {- x})} ^ {

Chúng tôi thấy rằng {\ trái (e ^ {cx} \ phải)} ^ {Lưu ý rằng nếu bạn nhận được một nhiệm vụ như vậy trong phần đầu tiên của bài kiểm tra trong toán học, thì hãy tìm giá trị của hàm khi {(E} ^ {x + a})không cần thiết. Như chúng ta thấy, giá trị này là số là không hợp lý. Và trong phần đầu tiên của bài kiểm tra về toán học, chỉ có một số nguyên hoặc một phần thập phân hữu hạn có thể được. Y = e ^ {2x} - {8e} ^ x + 9.9. Tìm giá trị hàm nhỏ nhất Y = e ^ {2x} - {8e} ^ x + 9.

Đối với một nhiệm vụ với từ ngữ "Tìm một điểm của hàm tối thiểu", bạn cần chọn mức thấp và giá trị cục bộ nhỏ nhất ở đầu của khoảng thời gian và tại các điểm ngắt. E ^ x = 4.Trên phân khúc [0; 2]. E ^ x = 4.Đây là những loại nhiệm vụ có thể đáp ứng trong nhiệm vụ này: y = \ sqrt {4-4x-x ^ 2}.Một lần nữa một chức năng phức tạp. Chúng tôi viết các công thức tiện ích: - \ frac {\ pi} {3}Sau đó x = ln4.Có thể được tìm thấy mà không có đạo hàm. x = ln4.giảm bớt Y \ Left (ln4 \ right) = 4 ^ 2-8 \ cdot 4 + 9 = 16-32 + 9 = -7.

Y = 12cosx + 6 \ sqrt {3} x-2 \ sqrt {3} \ pi +6Cho

Dấu hiệu của các thay đổi phái sinh từ "trừ" đến "cộng". Nó có nghĩa là \ bên trái [0; \ frac {\ pi} {2} \ phải]Có thể được tìm thấy mà không có đạo hàm. 12sinx = 6 \ sqrt {3}

10. Tìm giá trị lớn nhất của chức năng. Như mọi khi, chúng ta có một hàm phái sinh và đánh đồng bằng không.

Theo điều kiện, \ bên trái [0; \ frac {\ pi} {2} \ phải]. Về điều kiện phân khúc này

Chỉ thực hiện cho Sinx = \ frac {\ sqrt {3}} {2};Chúng tôi tìm thấy các dấu hiệu của đạo hàm ở bên trái và bên phải của điểm Chức năng phái sinh thay đổi dấu hiệu từ "cộng" thành "trừ". Vì vậy, điểm X \ in \ left [0; \ frac {\ pi} {2} \ right]. Các điểm cực đoan khác trên phân khúc Sinx = \ frac {\ sqrt {3}} {2}Chức năng không có, và giá trị lớn nhất của hàm X = \ frac {\ pi} {3}.

Trả lời: 12. x = ln4.11. Giá trị hàm nhỏ nhất x_0 = \ frac {\ pi} {3}

{Y = 12cosx + 6} \ sqrt {{3}} {} {x} {-} {2} \ sqrt {{3}} {} \ pi {+6}

Tìm một hàm phái sinh và đánh đồng cách không.

- Không có giải pháp.

Nó có nghĩa là gì? Chức năng dẫn xuất.

Không bằng 0 tại không có điểm. Điều này có nghĩa là dấu hiệu của đạo hàm ở bất kỳ điểm nào là giống nhau và chức năng không có cực đoan và là đơn điệu.

Trong chừng mực

, Tôi hiểu rồi

cho tất cả

và chức năng

Tăng monotonously

  1. Vì vậy, hàm nhỏ nhất mất ở đầu bên trái của phân khúc
  2. , đó là khi

Trả lời: 6.

Giá trị lớn nhất của chức năng

  1. Ý nghĩa của chức năng
  2. Điểm tối đa
  3. Điểm tối thiểu
  4. Khi Bố già nói: "Không có gì cá nhân." Chỉ có các dẫn xuất!

Bài viết Làm thế nào để tính toán phái sinh? Tôi hy vọng bạn đã học được, mà không cần điều này sẽ tiếp tục có vấn đề.

12 Nhiệm vụ trên số liệu thống kê được coi là khá khó khăn, và tất cả bởi vì các chàng trai không đọc bài viết này (trò đùa). Trong hầu hết các trường hợp, các loại rượu vang của tất cả mọi thứ không quan tâm.

  • 12 nhiệm vụ là hai loại:
  • Tìm điểm tối đa / tối thiểu (yêu cầu tìm các giá trị "x").

Tìm giá trị hàm cao nhất / nhỏ nhất (yêu cầu tìm các giá trị của "y"). Làm thế nào để hành động trong những trường hợp này?

Tìm điểm tối đa / tối thiểu

  • Lấy một dẫn xuất từ ​​chức năng đề xuất.
  • Đánh đồng nó bằng không.
  • Tìm thấy hoặc tìm thấy "x" và sẽ là điểm tối thiểu hoặc tối đa.

Xác định với sự trợ giúp của phương pháp các dấu hiệu Khoảng thời gian và chọn điểm nào là cần thiết trong nhiệm vụ.

Nhiệm vụ với EGE:

  1. Ý nghĩa của chức năng
  2. Điểm tối đa
  3. Tìm điểm chức năng tối đa
  4. Chúng tôi đánh đồng nó bằng không:
  5. Chúng tôi đã nhận được một giá trị của ICA, để tìm các dấu hiệu để thay thế -20 ở bên trái gốc và 0 ở bên phải gốc của gốc vào dẫn xuất chuyển đổi (dòng cuối cùng với chuyển đổi):
  6. Đúng vậy, đầu tiên chức năng tăng lên, sau đó giảm - đây là điểm tối đa! TRẢ LỜI: -15. Tìm chức năng tối thiểu

Bài viết Làm thế nào để tính toán phái sinh? Tôi hy vọng bạn đã học được, mà không cần điều này sẽ tiếp tục có vấn đề.

Chúng tôi biến đổi và lấy một dẫn xuất:

  • Nó hóa ra một gốc của "-2", nhưng đừng quên "-3", nó cũng sẽ ảnh hưởng đến sự thay đổi của dấu hiệu.
  • Thông minh! Đầu tiên, chức năng giảm, sau đó docet - đây là điểm tối thiểu!
  • Trả lời: -2.

Tìm chức năng lớn nhất / nhỏ nhất

Tìm thấy "x" và sẽ là một điểm tối thiểu hoặc tối đa.

  • Xác định với sự trợ giúp của các dấu hiệu phương thức khoảng và chọn điểm nào là cần thiết trong nhiệm vụ.
  • Trong những nhiệm vụ như vậy, khoảng cách luôn được đặt: Xers được tìm thấy trong đoạn 3 nên được đưa vào khoảng cách này.
  • Thay thế.
  • Ban đầu
  • Phương trình Điểm kết quả tối đa hoặc tối thiểu, chúng tôi nhận được giá trị hàm nhiều nhất hoặc nhỏ nhất.

Tìm giá trị lớn nhất của chức năng trên phân đoạn [-4; -1]

Chúng tôi biến đổi và lấy một dẫn xuất:

  1. "3" không kéo dài trong khoảng [-4; -1]. Vì vậy, nó vẫn còn để kiểm tra "-3" - nó là điểm tối đa? Thích hợp, đầu tiên chức năng tăng, sau đó giảm - đây là điểm tối đa và nó sẽ là giá trị lớn nhất của hàm. Nó vẫn chỉ để thay thế trên hàm ban đầu: Trả lời: -6. Tìm giá trị lớn nhất của hàm trên phân đoạn [0; 1,5π]
  2. Lấy một dẫn xuất: Chúng tôi tìm thấy những gì tội lỗi (x) bằng nhau:
  3. Nhưng điều này là không thể! SIN (X) ... Hóa ra phương trình không có giải pháp và trong những tình huống như vậy cần phải thay thế các giá trị cực đoan của khoảng cách trong phương trình ban đầu:
  4. Giá trị lớn nhất của chức năng là "11" ở điểm tối đa (trên phân khúc này) "0". Trả lời: 11.
  5. KẾT LUẬN: 70% lỗi nằm ở thực tế là các bạn không nhớ rằng để đáp lại Chức năng lớn nhất / nhỏ nhất của chức năng nên được viết "Y"

, A.

Điểm tối đa / ghi tối thiểu "x".
  • Không có giải pháp từ đạo hàm trong khi tìm các giá trị của hàm?
  • Không gặp rắc rối, thay thế các điểm cực đoan của khoảng cách!
  • Câu trả lời luôn có thể được ghi lại dưới dạng một số hoặc phân số thập phân.
  • Không phải? Sau đó cắt một ví dụ.
  • Hầu hết các nhiệm vụ sẽ được lấy một điểm và lười biếng để kiểm tra tối đa hoặc tối thiểu sẽ được biện minh.

Chúng tôi đã nhận được một điểm - bạn có thể viết một cách an toàn để đáp ứng. Khi viết Và đây Với việc tìm kiếm các giá trị của hàm, vì vậy đừng làm! Kiểm tra xem đây là điểm mong muốn, nếu không các giá trị cực đoan của GAP có thể lớn hơn hoặc ít hơn. Hãy nhận biết các thành viên mới, video hài hước về toán học. .

Một thuật toán đơn giản để tìm kiếm cực đoan. Học cách tìm từ bugaga.net.ru.

Tìm một chức năng phái sinh

Đánh đồng đạo hàm này về không \ bên trái [{0}; \ frac {\ pi} {{2}} \ phải]Chúng tôi tìm thấy các giá trị của biến của biểu thức kết quả (các giá trị của biến trong đó phái sinh được chuyển đổi thành 0) {x =} \ frac {\ pi} {{3}}.Chúng tôi chia các giá trị này vào tọa độ thẳng trong các khoảng thời gian (bạn không cần phải quên các điểm khoảng cách, cũng nên được áp dụng để trực tiếp), tất cả các điểm này được gọi là điểm đáng ngờ của người Viking Tính toán, trên đó những khoảng trống này dẫn xuất sẽ tích cực, và trên những gì âm. Để làm điều này, thay thế giá trị từ khoảng cách trong đạo hàm. Từ chấm đáng ngờ đến cực đoan, bạn cần tìm chính xác . Đối với điều này, chúng ta nhìn vào những khoảng trống của chúng ta trên tọa độ trực tiếp. Nếu khi đi qua một số điểm, dấu hiệu xuất thay đổi từ điểm cộng sang âm, thì điểm này sẽ là Tối đa. 0, và nếu với một điểm trừ trên cộng, thì 2Tối thiểu 2Để tìm giá trị hàm lớn nhất và nhỏ nhất, bạn cần tính giá trị của hàm tại các phần của phân đoạn và ở các điểm cực đoan. Sau đó chọn giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. https:// bugaga.net.ru/ege/math/ekstremum.html bugaga.net.ru. Y_ {MAX} \ TRÁI (x \ right) = y \ left (\ frac {\ pi} {3} \ phải) = 12.

Xem xét ví dụ.

Chúng tôi tìm thấy một dẫn xuất và đánh đồng nó về 0:

Các giá trị thu được của các biến được áp dụng bởi tọa độ trực tiếp và tính toán dấu hiệu của đạo hàm trên mỗi khoảng trống. Ví dụ nunample, cho lần đầu tiên chúng tôi lấy

-2.

, sau đó phái sinh sẽ bằng nhau -0.24. cho lần thứ hai chúng tôi lấy

  • , sau đó sẽ được thực hiện và lần thứ ba, lấy
  • , sau đó dẫn xuất sẽ là -0.24. Tôi đặt các dấu hiệu tương ứng.
  • Chúng ta thấy rằng khi đi qua điểm -1, đạo hàm thay đổi một dấu hiệu từ điểm trừ sang cộng, đó là điểm tối thiểu và khi đi qua 1 - từ điểm cộng đến trừ, đây là điểm tối đa, tương ứng. Xem thêm:

Thậm chí nhiều tài liệu để chuẩn bị cho kỳ thi

Chức năng tối thiểu và tối đa Chức năng tối thiểu và tối đa, nói cách khác Cực đoan , Các điểm gọi trong đó chức năng thay đổi bản chất của sự đơn điệu (từ sự gia tăng giảm và ngược lại). Điều quan trọng là phải hiểu rằng cực đoan không phải là giá trị tối đa và tối thiểu của hàm. Được chỉ định như sau:

\ (y_ {min}, y_ {max} \) Chức năng tối thiểu và tối đa, nói cách khác

- Tối thiểu, chức năng tối đa hoặc cực đoan;

\ (x_ {min}, x_ {max} \)

- Điểm tối thiểu, chức năng tối đa;

\ (y_ {naib}, y_ {nim} \) Chức năng tối thiểu và tối đa, nói cách khác Cực đoan - Giá trị lớn nhất (tối đa), nhỏ nhất (tối thiểu) của hàm.

Điểm tối thiểu, chức năng tối thiểu Chức năng tối thiểu và tối đa, nói cách khác

Điểm tối thiểu - một điểm như vậy

\ (x_0 \)

Y = 16x-6sinx + 6
Nếu nó có một khu phố, cho tất cả các điểm mà bất đẳng thức được thực hiện

\ (f (x) \ geq f (x_0) \)

Chức năng tối thiểu - Giá trị chức năng ở điểm tối thiểu Chú ý! Nếu giáo viên phát hiện đạo văn trong công việc, không để tránh các vấn đề lớn (theo các khoản khấu trừ). Nếu bạn không có cơ hội viết mình, đặt hàng ở đây. Từ đơn giản, điểm tối thiểu là một trong những nơi mà lũy thừa thay đổi tăng dần.

Điểm tối đa, chức năng tối đa

  1. Điểm tối đa - một điểm như vậy

  2. \ (f (x) \ leq f (x_0) \) Chức năng tối đa - Giá trị của hàm ở điểm tối đa (X \ in \ left [0; \ frac {\ pi} {2} \ right] Từ đơn giản, điểm tối đa là nơi mà sự gia tăng trong hàm đang thay đổi để giảm.

  3. Điểm tối đa và tối thiểu về lịch trình: f(X \ in \ left [0; \ frac {\ pi} {2} \ right] Nguồn: Trường học -Collection.edu.ru. Chức năng tối đa - Giá trị của hàm ở điểm tối đa (X \ in \ left [0; \ frac {\ pi} {2} \ right] Nghiên cứu các chức năng cho cực đoan Định lý. Nếu hàm f (x) có cực đoan tại một điểm \ (x = x_0, \)

  4. Đó là đạo hàm hoặc bằng 0 hoặc không tồn tại. (X \ in \ left [0; \ frac {\ pi} {2} \ right] Thuật toán để tìm kiếm cực đoan bằng cách sử dụng một dẫn xuất: Chức năng tối đa - Giá trị của hàm ở điểm tối đa (X \ in \ left [0; \ frac {\ pi} {2} \ right] Tìm khu vực định nghĩa hàm - D (y).

  5. Xác định đạo hàm -

  6. F '

).

Xác định điểm cố định

), I E. những người thuộc về d (y), ) Chúng được vẽ bằng 0, tìm các điểm quan trọng trong đó phái sinh không tồn tại (ví dụ:

\ (F ^, (x) = \ frac1 {2 \ sqrt x} \)

, đạo hàm không tồn tại ở x = 0). Khám phá tính cách thay đổi chức năng ) Và dấu hiệu

) Trong khoảng thời gian, nơi tìm thấy các điểm quan trọng được chia cho khu vực định nghĩa (có dấu âm, hàm dẫn xuất giảm, với sự tích cực - tăng). Liên quan đến từng điểm quan trọng, đó là để xác định xem đó là điểm tối đa, mức tối thiểu (tăng thay đổi đối với mức giảm - điểm tối đa, giảm xuống mức tối thiểu) hoặc không phải là điểm cực đoan (nghĩa là liệu Dấu hiệu đang thay đổi trong quá trình chuyển đổi thông qua điểm hết hạn). .

Tính các giá trị của hàm ở các điểm cực đoan.

Ví dụ về các nhiệm vụ Chức năng tối đa - Giá trị của hàm ở điểm tối đa (X \ in \ left [0; \ frac {\ pi} {2} \ right] Nhiệm vụ 1. Khám phá chức năng cực đoan \ (f (x) = x ^ 3-3x ^ 2. \) Giải quyết vấn đề theo thuật toán: ,một)

\ (D (y): x \ in (- \ encty; + \ Infty) \) . X - bất kỳ số nào. 2) đạo hàm: \ (f '(x) = 3x ^ 2-6x \) 3) Từ đoạn 1, theo sau đó không có điểm quan trọng. Chúng tôi tìm thấy văn phòng phẩm: Chức năng tối đa - Giá trị của hàm ở điểm tối đa (X \ in \ left [0; \ frac {\ pi} {2} \ right] Công bằng ) đến 0, giải phương trình vuông \ (3x ^ 2-6x = 0 \)

Nhận được

\ (x_1 = 0 \)

\ (\; x_2 = 2. \)

4) Chúng tôi lưu ý về trục nằm ngang của điểm 0 và 2. Chúng tôi sẽ thay thế bất kỳ X nào từ khoảng \ ((- \ encty; 0) \) trong f '(x), ví dụ, hãy để x = -1, sau đó

\ (F '(x) = 3 {(- 1)} ^ 2-6 (-1) = 3 + 6 = 9 \)

. Nhận được )> 0, có nghĩa là khoảng thời gian f (x) tăng lên. Tương tự, xem xét các khoảng thời gian còn lại. Tổng cộng, trên phân khúc (0; 2) dẫn xuất là âm tính, hàm giảm và trên khoảng .

, đạo hàm không tồn tại ở x = 0). \ ((2; + \ infty) \) Đạo hàm là tích cực, tăng lên. Nó theo sau từ này x = 0 là điểm tối đa và x = 2 là tối thiểu. 5) Tìm giá trị của cực đoan của hàm.

\ (f (0) = 0-3 \ ♥ = 0 \) \ (F (2) = 2 ^ 3-3 \ ^ ^ 2 = 8-12 = -4 \)

Câu trả lời: Chức năng tối đa - Giá trị của hàm ở điểm tối đa (X \ in \ left [0; \ frac {\ pi} {2} \ right] \ (x_ {min} = 2, \; y_ {min} = - 4; \; x_ {max} = 0, \; y_ {max} = 0 \) hoặc (0; 0) - Chức năng tối thiểu, (2; -4) - Tối đa. Nhiệm vụ 2.

Tìm khoảng thời gian của sự đơn điệu

\ (F (x) = \ frac x {x ^ 2-4} \) \ (D (y): x \ in \ mathbb {r}, \; \) .

ngoài ra

\ (\; \ pm2 \) 2) \ (F '(x) = \ frac {1 (x ^ 2-4) -x \ ^} {((x ^ 2-4)} ^ 2} = - \ frac {x ^ 2 + 4} {{ (x ^ 2-4)} ^ 2} \)

, đạo hàm không tồn tại ở x = 0). 3) Vì vậy, khi nó bật ra trong đoạn 1, điểm quan trọng 2 và -2. Nếu chúng ta tương đương ) Đến 0 để tìm điểm cố định, chúng ta sẽ thấy phương trình sẽ không có rễ. Vì vậy, không có điểm đứng yên. Nó theo sau đó là chức năng của Monotonna trong khu vực định nghĩa. Kiểm tra, nó tăng hoặc giảm. Để làm điều này, chúng tôi giải quyết bất đẳng thức

\ (f (0) = 0-3 \ ♥ = 0 \) \ (- \ frac {x ^ 2 + 4} {{(^ 2-4)} ^ 2} \ leq0 \)

Và chúng tôi nhận được bất bình đẳng đó là đúng với bất kỳ X, sau đó hàm giảm. . X - bất kỳ số nào. и Đừng quên rằng để đáp ứng, chỉ ra khoảng cách, hãy chắc chắn để loại bỏ các điểm quan trọng -2 và 2 vì Chức năng không được xác định trong chúng. Trả lời: F (x) giảm trong khoảng thời gian

\ (- \ infty; -2) \ Cup (-2; 2) \ Cup (2; + \ Infty) \)

Добавить комментарий